حل تمرین صفحه 25 ریاضی و آمار دوازدهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۲۵ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی باید بررسی کنیم که نتیجهٔ هر آزمایش **از قبل حتمی** است (قطعی) یا به **شانس** بستگی دارد (تصادفی). --- ### الف) انتخاب نام دانش‌آموز * **نوع آزمایش:** **تصادفی** * **چرا؟** اگرچه می‌دانیم که نام یکی از ۲۰ دانش‌آموز انتخاب می‌شود (تمام حالت‌ها معلوم است)، اما نمی‌توانیم پیش‌بینی کنیم که کدام نام به طور قطع بیرون خواهد آمد. نتیجه به شانس بستگی دارد. --- ### ب) تبدیل آب به بخار با حرارت دادن * **نوع آزمایش:** **قطعی** * **چرا؟** در شرایط استاندارد (فشار و دما)، با حرارت دادن آب تا دمای $100 \text{ درجه سانتی‌گراد}$، تبدیل آن به بخار یک **پدیدهٔ فیزیکی حتمی** است. نتیجه از قبل مشخص است. --- ### پ) نتیجه آزمون چهارجوابی با پاسخ شانسی * **نوع آزمایش:** **تصادفی** * **چرا؟** اگرچه پاسخ‌های ما به نیمی از سؤالات قطعی است، اما نتایج پاسخ‌های شانسی به طور قطع مشخص نیست و به شانس بستگی دارد (نتیجه نهایی قابل پیش‌بینی قطعی نیست). --- ### ت) بازی سادهٔ دو نفره (معمای ریاضی) * **نوع آزمایش:** **قطعی** * **چرا؟** بیایید مراحل را برای عدد اولیه $\mathbf{x}$ بررسی کنیم: 1. عدد را انتخاب می‌کند: $\mathbf{x}$ 2. $athbf{3}$ واحد می‌افزاید: $\mathbf{x} + 3$ 3. حاصل را $\mathbf{2}$ برابر می‌کند: $2(\mathbf{x} + 3) = 2\mathbf{x} + 6$ 4. $athbf{2}$ واحد کم می‌کند: $2\mathbf{x} + 6 - 2 = 2\mathbf{x} + 4$ 5. نتیجه را $\mathbf{نصف}$ می‌کند: $\frac{2\mathbf{x} + 4}{2} = \mathbf{x} + 2$ 6. عدد اولیه را $\mathbf{کم}$ می‌کند: $(\mathbf{x} + 2) - \mathbf{x} = \mathbf{2}$ نتیجه نهایی این محاسبات همیشه عدد $\mathbf{2}$ است، صرف نظر از عدد اولیهٔ انتخاب شده ($\\mathbf{x}$). بنابراین، پاسخ نهایی از قبل مشخص است و آزمایش **قطعی** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۲۵ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این یک آزمایش تصادفی **دو مرحله‌ای وابسته** است. نتیجهٔ مرحلهٔ اول (سکه) تعیین می‌کند که کدام عمل در مرحلهٔ دوم انجام شود (تاس یا سکه). --- ### الف) فضای نمونه ($athbf{S}$) * **حالت ۱: سکه اول «رو» ($athbf{R}$) بیاید:** در این صورت تاس پرتاب می‌شود. ($athbf{6}$ حالت) $$\mathbf{(R, 1), (R, 2), (R, 3), (R, 4), (R, 5), (R, 6)}$$ * **حالت ۲: سکه اول «پشت» ($athbf{P}$) بیاید:** در این صورت سکه دوم پرتاب می‌شود. ($athbf{2}$ حالت) $$\mathbf{(P, R), (P, P)}$$ $$\mathbf{S} = \left\{ (\text{R}, 1), (\text{R}, 2), (\text{R}, 3), (\text{R}, 4), (\text{R}, 5), (\text{R}, 6), (\text{P}, \text{R}), (\text{P}, \text{P}) \right\}$$ $$\mathbf{n}(\mathbf{S}) = 6 + 2 = 8$$ --- ### ب) پیشامد $athbf{A}$: **تاس زوج باشد** یا **سکه پشت بیاید** این پیشامد یک **اجتماع** است: $\mathbf{A = Z \cup P'}$. 1. **بخشی که تاس زوج است ($athbf{Z}$):** این فقط در حالت ۱ (سکه اول $\mathbf{R}$) رخ می‌دهد. $$\mathbf{Z} = \left\{ (\text{R}, 2), (\text{R}, 4), (\text{R}, 6) \right\}$$ 2. **بخشی که سکه پشت است ($athbf{P}'$):** این فقط در حالت ۲ (سکه اول $\mathbf{P}$) رخ می‌دهد. $$\mathbf{P}' = \left\{ (\text{P}, \text{R}), (\text{P}, \text{P}) \right\}$$ **اجتماع:** چون این دو مجموعه **ناسازگار** هستند (اشتراکی ندارند)، اجتماع آن‌ها برابر با مجموعهٔ هر دو است. $$\mathbf{A} = \mathbf{Z} \cup \mathbf{P}' = \mathbf{\left\{ (R, 2), (R, 4), (R, 6), (P, R), (P, P) \right\}}$$ $$\mathbf{n}(\mathbf{A}) = 3 + 2 = 5$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۲۵ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این تمرین مربوط به تعریف فضای نمونه و پیشامدها در مجموعه‌ای از اعداد با شرایط خاص است. --- ### الف) فضای نمونه ($athbf{S}$) فضای نمونه شامل اعداد $athbf{فرد طبیعی}$ کوچکتر از $athbf{20}$ است: $$\mathbf{S} = \left\{ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 \right\}$$ $$\mathbf{n}(\mathbf{S}) = 10$$ --- ### ب) پیشامد $athbf{A}$ (عدد روی کارت $athbf{مضرب 3}$ باشد) مضرب‌های $athbf{3}$ در مجموعهٔ $athbf{S}$ عبارتند از: $$\mathbf{A} = \left\{ 3, 9, 15 \right\}$$ $$\mathbf{n}(\mathbf{A}) = 3$$ --- ### پ) پیشامد $athbf{B}$ (عدد روی کارت $athbf{مجذور کامل}$ باشد) مجذورهای کامل ($athbf{k}^2$) در مجموعهٔ $athbf{S}$ عبارتند از: $$\mathbf{B} = \left\{ 1^2, 3^2, 4^2 \dots \right\} \cap \mathbf{S} \quad \Rightarrow \quad \mathbf{B} = \left\{ 1, 9 \right\}$$ $$\mathbf{n}(\mathbf{B}) = 2$$ --- ### ت) پیشامدهای $athbf{A} \cap athbf{B}$ و $athbf{A} - athbf{B}$ 1. **اشتراک ($athbf{A} \cap athbf{B}$):** اعدادی که **هم** مضرب ۳ **و هم** مجذور کامل باشند. $$\mathbf{A} \cap \mathbf{B} = \left\{ 3, 9, 15 \right\} \cap \left\{ 1, 9 \right\} = \mathbf{\left\{ 9 \right\}}$$ 2. **تفاضل ($athbf{A} - athbf{B}$):** اعدادی که **مضرب ۳** باشند ولی **مجذور کامل نباشند**. $$\mathbf{A} - \mathbf{B} = \left\{ 3, 9, 15 \right\} \setminus \left\{ 1, 9 \right\} = \mathbf{\left\{ 3, 15 \right\}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۲۵ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این تمرین به مقایسهٔ بیان کلامی و نماد ریاضی عملگرهای مجموعه در پیشامدها می‌پردازد. --- ### الف) ناحیهٔ اشتراک سه مجموعه * **توصیف کلامی:** پیشامد اینکه **هر سه پیشامد $athbf{A}$ و $athbf{B}$ و $athbf{C}$ همزمان رخ دهند.** * **عبارت مجموعه‌ای:** $\mathbf{A} \cap \mathbf{B} \cap \mathbf{C}$ --- ### ب) ناحیهٔ اجتماع سه مجموعه * **توصیف کلامی:** پیشامد اینکه **حداقل یکی از سه پیشامد $athbf{A}$ یا $athbf{B}$ یا $athbf{C}$ رخ دهد.** * **عبارت مجموعه‌ای:** $\mathbf{A} \cup \mathbf{B} \cup \mathbf{C}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۲۵ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این مسئله شامل ساخت اعداد دو رقمی بدون تکرار، با حضور $\mathbf{0}$ در بین ارقام است، که ابتدا باید تعداد کل حالت‌ها را مشخص کنیم. **ارقام موجود:** $\mathbf{\left\{ 0, 1, 2, 3, 4 \right\}}$ ($\mathbf{5}$ رقم) **شرط:** عدد دو رقمی (بدون تکرار ارقام) --- ### الف) فضای نمونه ($athbf{S}$) فضای نمونه شامل تمام اعداد $athbf{2}$ رقمی است که می‌توان ساخت. (تکرار مجاز نیست.) 1. **جایگاه ۱ (دهگان):** $athbf{4}$ انتخاب ($\mathbf{0}$ ممنوع) 2. **جایگاه ۲ (یکان):** $athbf{4}$ انتخاب (۴ رقم باقیمانده، شامل $\mathbf{0}$) $$\mathbf{n}(\mathbf{S}) = 4 \times 4 = 16 \text{ عدد}$$ $$\mathbf{S} = \left\{ 10, 12, 13, 14, 20, 21, 23, 24, 30, 31, 32, 34, 40, 41, 42, 43 \right\}$$ --- ### ب) پیشامد $athbf{A}$ (عدد روی کارت $athbf{مضرب 6}$ باشد) مضرب‌های $athbf{6}$ باید $athbf{زوج}$ باشند و $athbf{مجموع ارقامشان مضرب 3}$ باشد. مضرب‌های $athbf{6}$ در $athbf{S}$ عبارتند از: * $\mathbf{6} \times 2 = 12$ ($athbf{12}$ در $athbf{S}$ هست.) * $\mathbf{6} \times 3 = 18$ ($athbf{18}$ در $athbf{S}$ نیست.) * $\mathbf{6} \times 4 = 24$ ($athbf{24}$ در $athbf{S}$ هست.) * $\mathbf{6} \times 5 = 30$ ($athbf{30}$ در $athbf{S}$ هست.) * $\mathbf{6} \times 6 = 36$ ($athbf{36}$ در $athbf{S}$ نیست.) * $\mathbf{6} \times 7 = 42$ ($athbf{42}$ در $athbf{S}$ هست.) $$\mathbf{A} = \left\{ 12, 24, 30, 42 \right\}$$ $$\mathbf{n}(\mathbf{A}) = 4$$ --- ### پ) پیشامد $athbf{B}$ (عدد روی کارت $athbf{اول}$ باشد) اعداد اول $athbf{2}$ رقمی در $athbf{S}$ عبارتند از: * $athbf{10, 12, 13, 14, 20, 21, 23, 24, 30, 31, 32, 34, 40, 41, 42, 43}$ * $athbf{13}$ (اول است.) * $athbf{23}$ (اول است.) * $athbf{31}$ (اول است.) * $athbf{41}$ (اول است.) * $athbf{43}$ (اول است.) $$\mathbf{B} = \left\{ 13, 23, 31, 41, 43 \right\}$$ $$\mathbf{n}(\mathbf{B}) = 5$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۲۵ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این تمرین مربوط به تعیین فضای نمونه و پیشامدهای مختلف در **آزمایش تولد فرزندان** است. ($athbf{P}$ برای پسر و $athbf{D}$ برای دختر). --- ### الف) فضای نمونه ($athbf{S}$) هر فرزند $athbf{2}$ حالت دارد، پس $athbf{2^3 = 8}$ حالت ممکن داریم: $$\mathbf{S} = \left\{ \text{PPP}, \text{PPD}, \text{PDP}, \text{DPP}, \text{PDD}, \text{DPD}, \text{DDP}, \text{DDD} \right\}$$ $$\mathbf{n}(\mathbf{S}) = 8$$ --- ### ب) پیشامد $athbf{A}$ (هر سه فرزند از یک جنس باشند) یعنی هر سه پسر ($athbf{PPP}$) یا هر سه دختر ($athbf{DDD}$): $$\mathbf{A} = \left\{ \text{PPP}, \text{DDD} \right\}$$ $$\mathbf{n}(\mathbf{A}) = 2$$ --- ### پ) پیشامد $athbf{B}$ (فقط یک فرزند دختر باشد) یعنی $athbf{2}$ پسر و $athbf{1}$ دختر: $$\mathbf{B} = \left\{ \text{PPD}, \text{PDP}, \text{DPP} \right\}$$ $$\mathbf{n}(\mathbf{B}) = 3$$ --- ### ت) پیشامد $athbf{C}$ (حداقل $athbf{2}$ فرزند پسر باشند) حداقل $athbf{2}$ پسر یعنی $athbf{2}$ پسر یا $athbf{3}$ پسر: $$\mathbf{C} = \left\{ \text{PPD}, \text{PDP}, \text{DPP}, \text{PPP} \right\}$$ $$\mathbf{n}(\mathbf{C}) = 4$$ --- ### ث) پیشامد $athbf{D}$ (حداکثر $athbf{1}$ فرزند پسر باشد) حداکثر $athbf{1}$ پسر یعنی $athbf{0}$ پسر یا $athbf{1}$ پسر: $$\mathbf{D} = \left\{ \text{DDD}, \text{PDD}, \text{DPD}, \text{DDP} \right\}$$ $$\mathbf{n}(\mathbf{D}) = 4$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه ۲۵ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این تمرین به بررسی فضای نمونه و پیشامدها برای $athbf{4}$ فرزند می‌پردازد. --- ### الف) تعداد اعضای فضای نمونه ($athbf{S}$) برای $athbf{4}$ فرزند، تعداد کل حالت‌های ممکن ($\mathbf{2^4}$) است: $$\mathbf{n}(\mathbf{S}) = 2^4 = \mathbf{16}$$ --- ### ب) پیشامد $athbf{A}$ (دو فرزند سوم و چهارم $athbf{دختر}$ باشند) جنسیت فرزندان اول و دوم ($\mathbf{F}_1, \mathbf{F}_2$) می‌تواند هر چیزی باشد، اما فرزندان سوم و چهارم ($\mathbf{F}_3, \mathbf{F}_4$) باید $athbf{D}$ باشند. * $athbf{F}_1, \mathbf{F}_2$: $athbf{2} \times \mathbf{2} = 4$ حالت (RR, RP, PR, PP) * $athbf{F}_3, \mathbf{F}_4$: $athbf{1} \times \mathbf{1} = 1$ حالت ($athbf{DD}$) $$\mathbf{n}(\mathbf{A}) = 2 \times 2 \times 1 \times 1 = 4$$ $$\mathbf{A} = \left\{ \text{PPDD}, \text{PDPD}, \text{DPDD}, \text{DDDD} \right\}$$ (با فرض $athbf{P}$ و $athbf{D}$ برای فرزندان اول و دوم) --- ### پ) پیشامد $athbf{C}$ (تعداد دختر بیشتر از پسر باشد) تعداد کل فرزندان ۴ است. تعداد $athbf{D} >$ تعداد $athbf{P}$ یعنی: * $athbf{3}$ دختر و $athbf{1}$ پسر ($athbf{3D, 1P}$) * $athbf{4}$ دختر و $athbf{0}$ پسر ($athbf{4D, 0P}$) 1. **حالت $athbf{3D, 1P}$:** $inom{4}{3} = 4$ حالت (Pddd, Dpdd, DdPd, DddP) 2. **حالت $athbf{4D, 0P}$:** $inom{4}{4} = 1$ حالت (DDDD) $$\mathbf{n}(\mathbf{C}) = 4 + 1 = 5$$ $$\mathbf{C} = \left\{ \text{PDDD}, \text{DPDD}, \text{DDPD}, \text{DDDP}, \text{DDDD} \right\}$$ --- ### ت) آیا پیشامدهای $athbf{A}$ و $athbf{C}$ ناسازگارند؟ **بررسی اشتراک ($athbf{A} \cap athbf{C}$):** * $athbf{A}$ شامل حالت‌هایی است که دو فرزند آخر $athbf{DD}$ باشند. * $athbf{C}$ شامل حالت‌هایی است که $athbf{3D}$ یا $athbf{4D}$ باشند. حالت مشترک $athbf{DDDD}$ در هر دو مجموعه وجود دارد: $$\mathbf{A} \cap \mathbf{C} = \left\{ \dots, \text{DDDD} \right\} \cap \left\{ \dots, \text{DDDD} \right\} = \mathbf{\left\{ \text{DDDD} \right\} \ne \emptyset}$$ **پاسخ:** **خیر، ناسازگار نیستند.** زیرا حالت **$athbf{DDDD}$** (هر چهار فرزند دختر) در هر دو پیشامد مشترک است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۸ صفحه ۲۵ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این مسئله ترکیبی از **ترکیب** برای محاسبه تعداد حالت‌ها و **احتمال کلاسیک** است. (تعداد کل سیب‌ها: $\mathbf{n}(\mathbf{S}) = 12 + 5 = 17$). **فضای نمونه:** تعداد کل راه‌های انتخاب $athbf{3}$ سیب از $athbf{17}$ سیب: $$\mathbf{n}(\mathbf{S}) = \binom{17}{3} = \frac{17 \times 16 \times 15}{3 \times 2 \times 1} = 17 \times 8 \times 5 = \mathbf{680}$$ --- ### الف) هر سه سیب سالم باشند (پیشامد $A$) باید $athbf{3}$ سیب از $athbf{12}$ سیب سالم انتخاب شود و $athbf{0}$ از $athbf{5}$ سیب لکه‌دار. (اصل ضرب) $$\mathbf{n}(\mathbf{A}) = \binom{12}{3} \times \binom{5}{0} = \left( \frac{12 \times 11 \times 10}{6} \right) \times 1 = 220 \times 1 = 220$$ $$\mathbf{P}(\mathbf{A}) = \frac{220}{680} = \mathbf{\frac{11}{34}}$$ --- ### ب) دو سیب سالم و یک سیب لکه‌دار باشد (پیشامد $B$) باید $athbf{2}$ سیب از $athbf{12}$ سالم و $athbf{1}$ سیب از $athbf{5}$ لکه‌دار انتخاب شود. (اصل ضرب) $$\mathbf{n}(\mathbf{B}) = \binom{12}{2} \times \binom{5}{1} = \left( \frac{12 \times 11}{2} \right) \times 5 = 66 \times 5 = 330$$ $$\mathbf{P}(\mathbf{B}) = \frac{330}{680} = \mathbf{\frac{33}{68}}$$ --- ### پ) تعداد سیب‌های سالم از تعداد سیب‌های لکه‌دار بیشتر باشد (پیشامد $C$) تیم $athbf{3}$ نفره است. $athbf{سالم} > \mathbf{لکه‌دار}$ به دو حالت تقسیم می‌شود (اصل جمع): * **حالت ۱: $athbf{3}$ سالم و $athbf{0}$ لکه‌دار:** $athbf{n}(\mathbf{A}) = 220$ (همان قسمت الف) * **حالت ۲: $athbf{2}$ سالم و $athbf{1}$ لکه‌دار:** $athbf{n}(\mathbf{B}) = 330$ (همان قسمت ب) $$\mathbf{n}(\mathbf{C}) = 220 + 330 = 550$$ $$\mathbf{P}(\mathbf{C}) = \frac{550}{680} = \mathbf{\frac{55}{68}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۹ صفحه ۲۵ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این مسئله فرض می‌کند که هر ۸ ناحیهٔ چرخنده **مساوی** هستند، بنابراین احتمال آمدن عقربه روی هر ناحیه $\mathbf{1/8}$ است. **فضای نمونه ($athbf{S}$):** $\mathbf{S = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \right\}}$. $\mathbf{n}(\mathbf{S}) = 8$. --- ### الف) عقربه روی یک عدد $athbf{اول}$ بایستد (پیشامد $A$) اعداد اول در $\mathbf{S}$ عبارتند از: $athbf{\left\{ 2, 3, 5, 7 \right\}}$ $$\mathbf{n}(\mathbf{A}) = 4$$ $$\mathbf{P}(\mathbf{A}) = \frac{4}{8} = \mathbf{\frac{1}{2}}$$ --- ### ب) عقربه روی یک عدد $athbf{اول}$ یا $athbf{فرد}$ را نشان دهد (پیشامد $B = A \cup F$) 1. **پیشامد $athbf{A}$ (اول):** $athbf{\left\{ 2, 3, 5, 7 \right\}}$. $athbf{P}(\mathbf{A}) = 4/8$ 2. **پیشامد $athbf{F}$ (فرد):** $athbf{\left\{ 1, 3, 5, 7 \right\}}$. $athbf{P}(\mathbf{F}) = 4/8$ 3. **اشتراک ($athbf{A} \cap athbf{F}$ - اول و فرد):** $athbf{\left\{ 3, 5, 7 \right\}}$. $athbf{P}(\mathbf{A} \cap \mathbf{F}) = 3/8$ $$\mathbf{P}(\mathbf{A} \cup \mathbf{F}) = \mathbf{P}(\mathbf{A}) + \mathbf{P}(\mathbf{F}) - \mathbf{P}(\mathbf{A} \cap \mathbf{F})$$ $$\mathbf{P}(\mathbf{A} \cup \mathbf{F}) = \frac{4}{8} + \frac{4}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$$ --- ### پ) عقربه روی یک عدد $athbf{مضرب 3}$ بایستد (پیشامد $C$) مضرب‌های $athbf{3}$ در $athbf{S}$ عبارتند از: $athbf{\left\{ 3, 6 \right\}}$ $$\mathbf{n}(\mathbf{C}) = 2$$ $$\mathbf{P}(\mathbf{C}) = \frac{2}{8} = \mathbf{\frac{1}{4}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱۰ صفحه ۲۵ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این یک مسئلهٔ **جایگشت** است که در آن می‌خواهیم احتمال وقوع یک حالت خاص را محاسبه کنیم. **تعریف میله‌ها و پرچم‌ها:** * $athbf{7}$ پرچم متمایز ($athbf{P}_1, \dots, \mathbf{P}_7$) * $athbf{7}$ میله متمایز با شماره ($athbf{M}_1, \dots, \mathbf{M}_7$) --- ### الف) فضای نمونه ($athbf{S}$) تعداد کل حالت‌های ممکن برای قرارگیری $athbf{7}$ پرچم در $athbf{7}$ میله: $athbf{7!}$ $$\mathbf{n}(\mathbf{S}) = 7! = 5,040$$ --- ### ب) پیشامد $athbf{A}$ (پرچم‌های شماره اول در جایگاه مطابق با شماره خود باشند) **شرط:** پرچم‌ها فقط باید روی میله‌هایی با **شمارهٔ اول** قرار گیرند که با **شمارهٔ خودشان** تطابق داشته باشد. * **شماره‌های اول:** $athbf{\left\{ 2, 3, 5, 7 \right\}}$ (از بین ۱ تا ۷) **تعداد اعضای پیشامد ($athbf{n}(\mathbf{A})$):** * **میله $athbf{2}$:** فقط پرچم $athbf{2}$ می‌تواند قرار گیرد. ($athbf{1}$ انتخاب) * **میله $athbf{3}$:** فقط پرچم $athbf{3}$ می‌تواند قرار گیرد. ($athbf{1}$ انتخاب) * **میله $athbf{5}$:** فقط پرچم $athbf{5}$ می‌تواند قرار گیرد. ($athbf{1}$ انتخاب) * **میله $athbf{7}$:** فقط پرچم $athbf{7}$ می‌تواند قرار گیرد. ($athbf{1}$ انتخاب) $athbf{4}$ پرچم در $athbf{4}$ میلهٔ اول ثابت شده‌اند. $athbf{3}$ پرچم باقیمانده ($athbf{P}_1, \mathbf{P}_4, \mathbf{P}_6$) باید در $athbf{3}$ میلهٔ باقیمانده ($athbf{M}_1, \mathbf{M}_4, \mathbf{M}_6$) قرار گیرند. این یک جایگشت $athbf{3}$ شیء است. $$\mathbf{n}(\mathbf{A}) = (1 \times 1 \times 1 \times 1) \times 3! = 6$$ --- ### ج) محاسبه احتمال $athbf{P}(athbf{A})$ $$\mathbf{P}(\mathbf{A}) = \frac{\mathbf{n}(\mathbf{A})}{\mathbf{n}(\mathbf{S})} = \frac{3!}{7!} = \frac{6}{5,040} = \mathbf{\frac{1}{840}}$$ **نتیجه:** احتمال اینکه پرچم‌های با شمارهٔ اول در جایگاه مطابق با شماره خود باشند، $\mathbf{1/840}$ است.

full_descriptive_answer